合分比技术
严格来说，合分比技术是一种代数处理方法，并不能算是三角体系中的一环，但是由于正弦定理及正弦定理系的存在，在化简的过程中三角比例式常常出现，这个时候如果合理运用合分比技术，再结合和差化积与积化和差，往往能使化简的表达式得以“跳出圈子，向前一步”，笔者喜欢称其为“破局”。(参考张景中先生《几何新方法和新体系》)
有题为证：
合分比技术的例子
如图，在锐角\(\triangle ABC\) 中，\(AB>AC\)，\(H\) 为垂心，\(AM\) 为中线，\(BE,CF\) 是高，\(D\) 在 \(BC\) 边上，满足 \(\angle CAD=\angle BAM\) 与 \(\angle ADH=\angle MAH\)，求证：\(EF\) 平分线段 \(AD\)。
(2022-东南数学奥林匹克-P2)
问题之证明
由条件，\(AD\) 与 \(AM\) 为等角线，且 \(\triangle AEF\sim\triangle ABC\)，故 \(AD\) 平分 \(EF\)，从而即证明：\(AEDF\) 为平行四边形.
设 \(AD\cap EF=G\)，由相似对应，\(\angle DGE=\angle AMC\)，且 \(\angle ADH=\angle MAH\)，两式相加得 \(\angle DGE+\angle ADH=90^{\circ}\)，即 \(DH\perp EF\).
导角易得 \(\angle BHD=B,\angle CHD=C\)，故由分角定理： $$ \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BH\sin B}{CH\sin C}=\dfrac{\sin B\cos B}{\sin C\cos C} $$ 而由陪位中线的知识知（事实上由分角定理也易得）： $$ \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin^2 C}{\sin^2 B}=\dfrac{\sin B\cos B}{\sin C\cos C}(\^{*}) $$ 所证 \(\iff\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}\iff\dfrac{\sin^2 C}{\sin^2 B}=\dfrac{\sin C\cos A}{\sin A\cos C}\iff\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\tan A.\)
对 \((\^{*})\) 式处理得： $$ \dfrac{\sin^2 C}{\sin B\cos B}=\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\dfrac{\sin^2 C-\sin^2 B}{\sin B\cos B-\sin C\cos C} =\dfrac{\cos 2B-\cos 2C}{\sin 2B-\sin 2C}=\tan A, $$ 即 \(\dfrac{\sin^2 B}{\sin C\cos C}=\tan A\). 得证.